Скалярное произведение векторовСкалярным произведением двух ненулевых векторов
называется произведение их длин на косинус угла между
ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то
скалярное произведение таких векторов считается
равным нулю.
Скалярное произведение векторов и обозначается. По
определению, a a | a | | a | cos .
1
2
1
2
Произведение называется скалярным квадратом и
обозначается a 2 . Из формулы скалярного произведения
следует равенство a 2 | a |2 .
Для скалярного произведения векторов имеет место
формула a1 a2 x1 x2 y1 y2 , где a1 (x1 , y1), a2 (x2 , y2).

Физический смысл

Скалярное произведение векторов имеет простой
физический смысл и связывает работу A, производимую
постоянной силой F при перемещении тела на вектор a ,
составляющий с направлением силы угол, а именно,
имеет место следующая формула: A F a | F | | a | cos .

Пример 1

Дан вектор m(a, b). Найдите координаты
перпендикулярного к нему вектора.
Решение: Для искомого вектора n (x, y) должно
выполняться равенство ax + by = 0. Например, этому
равенству удовлетворяют x = b, y = –a. Следовательно,
искомый вектор имеет координаты n (b, a).

Пример 2

Найдите угол A треугольника с вершинами
1
A(1, 3), B (1, 3), C (, 3).
2
Решение: Воспользуемся определением скалярного
произведения векторов AB и AC . Имеем
AB AC | AB | | AC | cos A. Вычислим это скалярное
произведение через координаты векторов. Вектор AB
имеет координаты (2, 2 3), вектор AC имеет
координаты (3/ 2, 0). Следовательно, скалярное
произведение данных векторов равно 3. Их длины
равны соответственно 4 и 3/2. Подставляя эти данные в
формулу скалярного произведения, получим cos A 1
2
о
и, следовательно, A = 60 .

Упражнение 1

Вычислите скалярное произведение двух
векторов a и b , если | a | = 2, | b | = 3, а угол
между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
Ответ: а) 3 2 ; б) 0; в) 3 2 .

Упражнение 2

В равностороннем треугольнике АВС со
стороной 1 проведена высота BD. Вычислите
скалярное произведение векторов:
а) AC и CB;
б) AC и BD;
в) AC и AC .
1
Ответ: а) ; б) 0; в) 1.
2

Упражнение 3

Найдите скалярное произведение векторов
a1 (-1, 2) и a2 (2,-1).
Ответ: –4.

Упражнение 4

Охарактеризуйте угол между векторами a и b,
если:
о< < 90о;
Ответ:
а)
0
а) a b 0;
б)
a b 0;
в)
a b 0;
г)
a b | a | | b |.
б) 90о< < 180о;
в) = 90о;
г) = 180о.

Упражнение 5

Длины векторов a и b равны 1. При каком угле
между ними скалярное произведение будет: а)
наибольшим; б) наименьшим?
Ответ: а) = 0о;
б) = 180о.

Упражнение 6

Найдите угол между векторами a (1, 2) и b (1, 0).
5
Ответ: cos .
5

Упражнение 7

Какой угол образуют единичные векторы a и
b , если известно, что a 2b и 5a 4b взаимно
перпендикулярны.
Ответ: 60о.

Упражнение 8

При каком значении t вектор 2a tb
перпендикулярен вектору b a, если
a (2, -1), b (4, 3).
Ответ: t = 0.

Упражнение 9

Для прямоугольника ABCD со сторонами AB = 6
см, AD = 8 см найдите скалярное произведение:
а)
AB BE;
б)
BE BD;
в)
BF BD;
г)
BE BF ,
где E и F – середины сторон AD и CD
соответственно.
Ответ: а) 36; б) 68; в) 82; г) 50.

Упражнение 10

Вычислите, какую работу A производит сила
F (-3, 4), когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из
положения B(5, -1) в положение C(2, 1).
Ответ: A = 17.

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Презентацию на тему "Угол между векторами и скалярное произведение векторов" можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Математика. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 4 слайд(ов).

Слайды презентации

Слайд 1

Слайд 2

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними

Свойства скалярного произведения

Слайд 3

Скалярное произведение в координатах

Слайд 4

1. Вычислите скалярное произведение векторов

и, если =6, =8,

а угол между ними.

2. Две стороны треугольника равны 6м и 10м, а угол между ними равен 30градусов. Найдите третью сторону треугольника

3. Чему равно скалярное произведение координатных векторов

4. Дан вектор

Запишите разложение вектора по координатным базисным векторам

Советы как сделать хороший доклад презентации или проекта

Постарайтесь вовлечь аудиторию в рассказ, настройте взаимодействие с аудиторией с помощью наводящих вопросов, игровой части, не бойтесь пошутить и искренне улыбнуться (где это уместно).
Старайтесь объяснять слайд своими словами, добавлять дополнительные интересные факты, не нужно просто читать информацию со слайдов, ее аудитория может прочитать и сама.
Не нужно перегружать слайды Вашего проекта текстовыми блоками, больше иллюстраций и минимум текста позволят лучше донести информацию и привлечь внимание. На слайде должна быть только ключевая информация, остальное лучше рассказать слушателям устно.
Текст должен быть хорошо читаемым, иначе аудитория не сможет увидеть подаваемую информацию, будет сильно отвлекаться от рассказа, пытаясь хоть что-то разобрать, или вовсе утратит весь интерес. Для этого нужно правильно подобрать шрифт, учитывая, где и как будет происходить трансляция презентации, а также правильно подобрать сочетание фона и текста.
Важно провести репетицию Вашего доклада, продумать, как Вы поздороваетесь с аудиторией, что скажете первым, как закончите презентацию. Все приходит с опытом.
Правильно подберите наряд, т.к. одежда докладчика также играет большую роль в восприятии его выступления.
Старайтесь говорить уверенно, плавно и связно.
Старайтесь получить удовольствие от выступления, тогда Вы сможете быть более непринужденным и будете меньше волноваться.

Скалярное произведение векторов

Учитель КГУ ШГ №5

Шуринова Е.К.

г. Алматы

Аннотация

Данная презентация представляет собой демонстрационный материал к уроку «Скалярное произведение векторов » для учащихся 9 класса.
Презентация выполнена в программе MS Power Point(формат * ppt) .
Дидактическая направленность презентации состоит в том, чтобы научить применять полученные знания к решению задач.
Данный материал можно использовать на уроках геометрии в 9 классе.
Количество слайдов – 9.

Толстые и тонкие вопросы

Дайте определение угла между векторами
Сформулируйте определение скалярного произведения векторов.
Назовите свойства скалярного произведения векторов
Чему равно скалярное произведение векторов, когда векторы перпендикулярны?
Как найти скалярное произведение, используя координаты?
Сформулируйте условие коллинеарности векторов
Как найти косинус угла между векторами?
Чему равен скалярный координат?

Мини – выступление групп.

1 группа. История возникновения векторов

2 группа. Скалярное произведение векторов.

3 группа. Координатный вид скалярного произведения.

4 группа. Угол между векторами.

Самостоятельная работа

Вариант №1.

В квадрате ABCD сторона равна 2. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите скалярные произведения:

Вариант №2.

1. В Равнобедренном треугольнике ABC AB = AC =8, D – середина AB , Е - середина AC . Найдите скалярные произведения, если

2. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(1;4), В(-3;2), С(-1;-3).

а) Найдите градусную меру острого угла между медианой СМ и стороной АС.

б) Вычислите

2.Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(0;4), В(3;5), С(1;3).

а) Найдите градусную меру острого угла между медианой AD и стороной АС.

б) Вычислите

Дополнительные задания

В квадрате АВСД сторона равна 1. Найдите:

Сторона правильного треугольника АВС равна 1.

В равнобедренном треугольнике АВС ВД- медиана,АС=8,ВД=3. Найдите:

МОУ СОШ №256 г.Фокино

Познакомить учащихся с понятием «угол между векторами».
Ввести понятие скалярного произведения двух векторов, скалярного квадрата вектора.

Задача 1. Дано: АВС D – параллелограмм

Найти:

а) векторы, коллинеарные вектору ОС;

б) векторы, сонаправленные вектору АВ;

в) векторы, противоположно направленные вектору ВС;

г) векторы, равные вектору ВО;

д) В D , если АВ = 4, ВС = 5, ВА D = 60 0 ;

, если АВ = 4, ВС = 5, АС = 6.

Задача 2. Дано: АВС D – квадрат. АВ =

а) ВО;

б) угол АВО, угол АОВ;

Угол между векторами.

Ответьте на вопросы:

Чему равен угол между

векторами а и b ?

Каков угол между

векторами b и с?

Угол между векторами

c и d ?

Угол между векторами

с и f острый или тупой?

Определите угол между

векторами а и d .

Угол между векторами

а и f ?

Возьмите на заметку!

Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой они откладываются

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением

двух векторов называется

произведение их длин

на косинус угла между

ними.

Скалярное произведение

называется

скалярным квадратом вектора

Примечание:

В термине

« скалярное произведение » первое слово указывает на то, что результат действия есть скаляр , т.е. действительное число. Второе слово подчеркивает, что для этого действия имеют силу основные свойства обычного умножения.

Свойства умножения:

Переместительное свойство

Сочетательное свойство

распределительное

свойство

Тест:

Вставьте пропущенное слово:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на __________ угла между ними.

Вектор а скалярно умножили на вектор b . Как можно охарактеризовать результат этого действия?

Результат действия есть вектор.
Результат действия есть скаляр.
Результат действия есть скаляр, если векторы а и b коллинеарные, или вектор, если векторы а и b не являются коллинеарными.